Hyperbolic Entailment Cones for Learning Hierarchical Embeddings

双曲空間で領域的な表現を構成する手法

以下の機能的バイアスが必要であると主張

軸対称性

角錐の中心軸に対して点対称であること

回転不変性

角錐の形が、作成する場所に依存しない

ポワンカレ球上の話なので依存しないことが望ましい

連続性

角度そのものが連続的な関数であること

入れ子の角錐に対する推移性

角錐が埋め込み空間において、順序的な推移を持つこと

上記を踏まえると、多様体上の開口角の要請は以下となる

Kは境界条件を表す定数。

$ \text{aper}_b(\bm{x_b})=\sin^{-1}\left(K\frac{1-c\|\bm{x}_b\|^2}{\sqrt{c}\|\bm{x}_b\|}\right)

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